دانشکده علوم پایه

محض-آنالیز ریاضی

آنالیز ریاضی شاخه ای از ریاضیات است که ابتدائاً در رابطه با اعداد حقیقی، حد و پیوستگی در توابع حقیقی و نظریات مرتبط با آنها همچون مشتق پذیری، نظریه اعداد، توابع تحلیلی و دنباله وسریهای نامتناهی شکل گرفت. لذا می توان گفت که پایه این دانش، همان مباحث حسابان و یا حساب دیفرانسیل و انتگرال می باشد. هر چند آنالیز ریاضی با مفاهیم هندسی مرتبط است، ولی می توان آن را در هر مجموعه ای از اشیا که در آن نوعی تعریف برای مفهوم «نزدیک شدن» قابل ارائه باشد – و به عبارت دیگر، هر فضای توپولوژیک- بکار گرفت.

برخی مباحث مهم و پیشرفته تر که طی دهه های اخیر در آنالیز ریاضی مورد توجه واقع شده اند عبارتند از: آنالیز تغییرات، آنالیز هارمونیک، آنالیز هندسی، آنالیز محاسباتی، آنالیز تصادفی، آنالیز مجموعه مقدار، آنالیز محدب و....

طی چهار قرن اخیر آنالیز ریاضی کاربردهای بسیاری در سایر علوم و شاخه های مهندسی پیدا کرده است. ضمن آنکه این شاخه زیر بنای دانش آمار است که خود یکی از کاربردی ترین ابزار محاسباتی درتحقیقات می باشد. همچنین می توان به کاربردهای وسیع آن در فیزیک (مکانیک کلاسیک، فیزیک کوانتم، فیزیک نسبیت، پردازش سیگنالها و امواج، پردازش تصاویر و...)، و نیز نظریه تحلیلی اعداد، ترکیبیات تحلیلی، نظریه اطلاعات، هندسه دیفرانسیل، توپولوژی دیفرانسیل، نظریه معادلات دیفرانسیل و انتگرال، آنالیز غیر هموار، منیفلدها و... اشاره کرد.

نقش آنالیز ریاضی در پیشرفت اقتصاد و شاخه های مختلف مهندسی از قبیل کنترل، تحقیق در عملیات و بهینه سازی، مکانیک سیالات و برق والکترونیک غیر قابل انکار است. علاوه بر این، ترکیب آنالیز ریاضی با جبرخطی منجر به ایجاد و توسعه نظریه های آنالیز تابعی و نظریه عملگرها شده که خود از ابزار اصلی در پیشبرد شاخه های مختلف دانش محسوب می گردند. بنابراین بدون تردید می توان ادعا کرد گسترش جنبه های مختلف آنالیز ریاضی بویژه در سده اخیر از جمله دلایل اصلی گسترش سایر شاخه های دانش بشری بوده و این روند همچنان با سرعت زیاد رو به گسترش خواهد بود.